특해치 분해 신호처리를 적용한 위상 변환 일반 상호 상관 시간 지연 추정기 성능 향상 방법 연구

Ⅰ. 서 론

두 센서 사이의 시간 지연추정은 소나(Sonar) 등 수중 음향 분야뿐만 아니라 통신, 음성 처리 시스템을 비롯하여 로봇 분야에 이르기까지 다양한 응용 분야에서 쓰이고 있다[1]-[4]. 시간 지연추정 방법은 주파수 및 시간 영역에서 많은 연구가 되고 있다. 대표적으로 널리 사용되는 방법에는 신호 세기 차를 이용한 방법[5], GCC-PHAT와 같은 TDOA(Time Difference of Arrival) 방법[6][7] 및 빔 형성기를 이용한 방법[8] 등이 있다. TDOA 방법 중에서 GCC-PHAT은 두 센서 사이 수신 간 상관과 백색화과정을 사용한 시간 지연을 추정하는 방법으로써 시스템 구성이 간단하고, 비교적 정확성도 좋아서 널리 쓰인다[9]. 그리고 이 GCC-PHAT 방법에서 주파수축에서 자기 상관을 이용하여 잡음을 줄여 시간 지연추정 성능을 향상한 알고리즘(AC-GCC-PHAT, Auto-Correlation GCC-PHAT)도 제안되었다[10]. 이 알고리즘은 GCC-PHAT의 계산 과정 중에서 순수 단일 주파수 신호를 만드는 과정이 있어서 이 부분에 자기 상관을 사용하여 비주기성 신호인 잡음을 줄이고 주기성 신호를 상대적으로 향상시키는 기능을 추가하였다. 그러나 이 방법을 사용하다 보면 보통 정도의 신호 대 잡음 비 환경에서도 자기 상관으로 얻어진 단일 신호에 여전히 잡음의 영향이 존재하고 있음을 확인할 수 있어서 개선의 여지가 있음을 알 수 있다. 그 외에 두 센서에 수신된 신호에 존재하는 잡음을 시간축 상에서 이차 자기 상관을 이용하여 줄이면서 지연 시간을 추정하는 방법이 제안되었다[11].

본 논문에서는 Lim[10]에 의해서 제안된 성능이 향상된 GCC-PHAT인 자기 상관 GCC-PHAT(AC-GCC-PHAT)에 특해치 분해 신호처리(SSA, Singular Spectrum Analysis)를 적용하여 성능을 높이는 방법을 제안한다. 이로써 AC-GCC-PHAT의 중간 계산 중 얻어지는 주파수 영역 자기 상관 신호가 갖는 단일 주파수 성질을 더욱 잘 드러내도록 하여 최종 시간 지연추정 성능이 향상되도록 한다. 그리고 모의실험을 통해서 신호원이 백색 신호원인 때와 신호원이 유색 신호원일 때 신호 대 잡음 비를 변경하면서 시간 지연추정 성능을 비교하여 기존의 결과에 비해서 시간 지연추정 성능이 향상됨을 확인한다.

Ⅱ. 상호 상관 기반 시간 지연 신호 추정 기법과 주파수 영역 자기 상관 이용 상호 상관 기반 시간 지연 신호 추정 기법 요약

2.2 GCC-PHAT 기반 시간 지연추정 방법과 주파수 영역 자기 상관을 이용한 GCC-PHAT 개선

GCC-PHAT는 상호 상관 방법 중 가장 많이 사용되는 방법이다. 이 방법은 주파수 영역에서 두 신호 사이의 상관을 구한 후에 백색화를 위한 가중을 하는 과정을 통해서 각 신호의 스펙트럼의 영향을 평탄화하는 효과를 만든다[7]. GCC-PHAT 방법으로 두 수신 신호 x₁ (k)과 x₂ (k) 사이의 상호상관도를 구하면 다음 식과 같다[7].

$\[ R_{X_1{X}_2}\left(\tau \right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }W\left(\omega \right)X_1\left(\omega \right)X_2^{\text{*}}\left(\omega \right)e^{i\omega \tau } \]$

(2)

$\[ \widehat{\tau }=\text{arg max} R_{X_1{X}_2}\left(\tau \right) \]$

(3)

여기서 X₁(ω)는 x_i(k)를 주파수 변환한 신호이다. 또 W(ω)는 주파수축 가중 함수로써 $$ X_1\left(\omega \right)X_2^{\text{*}}\left(\omega \right)$$의 역수가 된다[7]. 위와 같은 가중치를 곱한 후에는 일종의 백색화가 일어나 좀 더 충실한 시간 지연 정보 추정이 가능해진다. 식 (2)를 사용해서 구한 R_X1X2(τ)를 사용한 두 신호 사이의 시간 지연은 식 (3)과 같이 구할 수 있다[7].

그림 2는 그림 1에 보인 GCC-PHAT로 구한 이상적인 상호 상관 결과를 보였다. 그림 2의 결과가 그림 1에서 X_W (ω)를 역주파수 변환으로 구한다는 사실에서 X_W (ω)가 순수한 단일 주파수성 신호라는 것을 알 수 있다. 그리고 Lim은 그림 3에 작은 네모로 표시한 것과 같이 X_W (ω)의 주파수 영역의 자기 상관을 추가로 구함으로써 X_W (ω)의 주파수 영역에서의 주기성을 살리면서 잡음의 영향을 줄이는 AC–GCC–PHAT를 제안하고, 그 성능이 GCC-PHAT보다 향상됨을 보였다[10].

Fig. 1.

Diagram of GCC-PHAT[10]

Fig. 2.

Ideal cross-correlation result between two delayed received signals

Fig. 3.

Diagram of AC-GCC-PHAT[10]

Ⅲ. 특해치 분해 신호처리를 이용한 GCC-PHAT 개선

3.1 특해치 분해 신호처리(SSA, Singular Spectrum Analysis)

특해치 분해 신호처리는 시간의 변화에 대한 어떤 관측치 또는 통계량의 변화를 분석하는 기법의 하나로 공학, 의학 등 다양한 분야에서 사용된다. 특히 부 채널 분석 관점에서 특해치 분해 신호처리는 계측된 파형을 의미 있는 주 신호 파형과 불필요한 잡음 신호 파형으로 분해하는 전처리 목적으로 사용된다[12].

그림 4와 같이 특해치 분해 신호처리는 총 4단계로 구성된다. 그 중 첫 두 단계를 분해 단계라 하고, 나머지 단계를 재구성 단계라고 한다.

Fig. 4.

Analysis steps in singular spectrum analysis

<분해 단계>

1단계: 계측된 시계열 신호 파형을 궤적 행렬(Trajectory matrix) A로 변환하는 임베딩 과정이다. 여기서는 파형의 정보를 파악하기 위한 윈도우(Window, 단위구간)의 길이 설정이 필요하다. 길이 N의 파형 x = [a(1), a(1), ⋯, a(N)]에 대하여 궤적행렬 A는 식 (4)와 같이 구성한다.

$\[ \mathbf{\text{A}}=\left[\begin{array}{cccc}a\left(1\right)& a\left(2\right)& \cdots & a\left(K\right)\\ a\left(2\right)& a\left(3\right)& \cdots & a\left(K+1\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a\left(W\right)& a\left(W+1\right)& \cdots & a\left(N\right)\end{array}\right] \]$

(4)

여기서 W는 윈도우의 길이이며, K=N-W+1을 만족한다. 이렇게 구성된 행렬 A는 역 대각선을 따라 동일한 값을 가지므로 정의상 Hankel 행렬이다.

2단계: Hankel 행렬 형태로 변환된 궤적행렬 A를 특이값 분해(SVD, Singular Value Decomposition)하는 과정이다. 여기서는 궤적행렬 A를 특이값 분해를 통해서 A = USV^T로 분해한다.

이때 U = [u₁, u₂, ⋯, u_w], S = diag(s₁, s₂, ⋯, s_w), V = (v₁, v₂, ⋯, v_w)이고 각각 좌측 특이 행렬, 특이값 행렬, 우측 특이 행렬이라고 한다. 또 u_i를 i번째 좌측 특이 벡터, v_j를 j번째 우측 특이 벡터라 한다. 또 s_i>s_i+1인 관계가 있다. 이렇게 특이값 분해를 한 경우 행렬 A를 다음과 같이 특이치와 특이 벡터들의 곱으로 나타낼 수 있다.

$\[ \mathbf{A}={\mathbf{A}}_1+{\mathbf{A}}_2+\cdots +{\mathbf{A}}_{\mathbf{r}}=\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{w}}{\mathbf{s}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{\text{v}}}_{\mathbf{\text{i}}}^{\mathbf{\text{T}}} \]$

(5)

여기서 r은 행렬 A의 rank이다.

<재구성 단계>

3단계: 앞선 과정에서 분해한 A_i를 주 신호 파형과 잡음 신호 파형으로 분류(Grouping)하는 과정이다. 이때 고유치 s_i의 크기를 기준으로 M개의 고유치가 주 신호 파형에 관련되었다고 판단되었다면, A₁ ~A_M이 주 신호 파형에 관련되고, 나머지가 잡음 신호 파형과 관련된 것으로 분류한다. 그러므로 주 신호 파형과 관련한 A_i 들을 모으면 다음과 같다.

$\[ \mathbf{A}\approx {\mathbf{A}}_1+{\mathbf{A}}_2+\cdots +{\mathbf{A}}_{\mathbf{M}}. \]$

(6)

그러나 3단계에서 식 (6)과 같이 행렬 합을 수행하지는 않고 분류만을 행한다.

4단계: 분해된 행렬 A_i들을 다시 파형 형태로 다시 변환하기 위해서 식 (4)에서 원래 행렬 A가 역 대각 방향으로 성분이 동일한 Hankel 행렬이라는 것을 이용하여, 각각의 행렬 A_i의 역대각선 방향으로 평균화 과정을 진행하고, 이렇게 얻은 벡터를 z_i라 한다. 그리고 3단계에서 얻은 모든 A_i를 역대각 평균화하여 z₁부터 z_M의 신호 벡터를 얻는다. 최종적으로 이들 신호 벡터를 모두 합하여 잡음이 제거된 신호 파형 벡터를 재구성한다. 여기서 재구성된 실수 벡터 z_m = [z_m (1), z_m (2), z_m (N)]를 A_m 행렬로부터 재구성된 신호 벡터이다. Hankel 구조의 행렬인 A_m을 이용하여 z_m 같은 신호 벡터를 재구성하기 위해서 다음과 같이 평균화를 한다.

$\[ \underset{\mathit{m}}{\mathit{z}\left(\mathbf{\text{n}}\right)}=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{\mathit{n}}\sum _{\mathit{j}=1}^{\mathit{n}}{\mathit{a}}_{\mathit{j},\mathit{n}-\mathit{j}+1}& & 1\le \mathit{n}\le \mathit{L}\hfill \\ \frac{1}{\mathit{L}}\sum _{\mathit{j}=1}^{\mathit{L}}{\mathit{a}}_{\mathit{j},\mathit{n}-\mathit{j}+1}& & \mathit{L}\le \mathit{n}\le \mathit{K}\hfill \\ \frac{1}{\mathit{N}-\mathit{n}+1}\sum _{\mathit{j}=\mathit{n}-\mathit{K}+1}^{\mathit{L}}{\mathit{a}}_{\mathit{j},\mathit{n}-\mathit{j}+1}& & \mathit{K}\le \mathit{n}\le \mathit{N}\end{array}\right. \]$

(7)

이와 같은 작업을 3단계에서 얻은 모든 A_i 각각에 적용하여 z_i 신호 벡터를 재구성한다. 모든 z_i 를 합하여 최적 잡음이 제거된 신호를 아래와 같이 재구성한다.

$\[ \mathbf{x}={\mathbf{z}}_1+{\mathbf{z}}_2+\cdots +{\mathbf{z}}_{\mathbf{M}}=\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{M}}{\mathbf{z}}_{\mathbf{i}}. \]$

(8)

3.2 특해치 분해 신호처리를 이용한 GCC-PHAT 개선

그림 1의 $$ {\mathbf{X}}_{\mathrm{W}}\left(\omega \right)=\mathrm{W}\left(\omega \right){\mathrm{X}}_1\left(\omega \right){\text{X}}_2^{\text{*}}\left(\omega \right)$$는 2.2에서 언급하였듯이 순수한 단일 주파수성 복소수 신호이다. 그러나 수신할 때 함께 들어온 잡음의 영향은 여전히 존재한다. 따라서 이 신호의 실수부와 허수부에 각각 특해치 분해 신호처리를 적용한다면 잡음의 영향이 줄어든 단일 주파수 신호를 재구성할 수 있고, 이를 이용해서 시간 지연을 구한다면, 신호 지연추정의 결과를 더욱 향상시킬 것으로 예상할 수 있다. 이때 AC–GCC-PHAT에 특해치 분해 신호처리를 적용할 경우 유효 신호가 1개이므로 SSA 3단계에서 M=1 로 설정하면 된다. 이런 특해치 분해 신호처리를 이용하는 신호 개선 방법을 그림3에 나타낸 자기 상관을 이용한 GCC-PHAT에 적용하여 그림5로 만들었다.

Fig. 5.

Diagram of Improved AC-GCC-PHAT using SSA

IV. 모의실험을 통한 성능 비교

알고리즘의 비교 모의실험을 위해서 참고문헌[10]의 실험 방법과 동일한 방법을 사용하였다.

첫 번째 비교 모의실험을 위해 기준 채널 신호 x₁(k)은 백색 정규 불규칙 분포 신호로 발생시켰다. 다른 채널 신호는 x₁(k)과 각각 10 샘플과 1샘플 씩 뒤진 두 종류의 신호를 모델링 하였다. 즉, x₂(k) = x₁(k-10)과 x₂(k) = x₁(k-1)이다. 그리고 x₁(k)과 x₂(k)에는 백색 정규 분포 잡음인, n₁(k)과 n₂(k)가 각각 더해졌다. 그리고 신호 대 잡음 비의 변화 범위는 10dB부터 -10dB로 하였다.

두 번째 비교 모의실험에선 기준 채널 신호 x₁(k)를 1차 AR 과정인, s(k) = 0.7s(k-1) + w(k)을 만족하도록 발생시켜 사용하였다. 이로써 신호원이 유색 신호의 특성을 갖게 하였다. 이때 w(k)는 백색 정규 분포 신호이다. 나머지 실험 환경은 첫 번째 비교 모의실험 때와 같게 하였다. 그리고 신호 대 잡음 비는 0dB부터 10dB까지 변화시켰다.

각 각의 비교실험에서 그림5에서 제안한 방법과 함께 AC-GCC-PHAT 방법[10], 이차 자기상관법[11] 및 GCC-PHAT방법[7]을 서로 비교하였다. 네 방법을 각 신호 대 잡음 비에서 100회씩 반복 실험해서 결과를 얻었다.

추정 성능 비교를 위해서 참 지연 값과 추정 지연 값 사이의 차이를 지연 시간 추정 오차라고 하고, 이 지연 시간 추정의 평균 자승 오차(Mean square error)를 dB 값을 신호 대 잡음 비에 대해서 그림으로 그렸다.

그림 6은 첫 번째 실험의 결과를 서로 비교한 그림이다. 그림 6의 결과를 보면 백색 신호원에 대해 그림 5에 제안한 AC – GCC - PHAT 방법[10]에 특해치 분해 신호처리를 적용한 경우를 기존 AC-GCC-PHAT 방법[10]과 비교하면 시간 지연량에 무관하게 신호 대 잡음비 -6dB 이상에서 약 5dB~8dB 정도 향상된 성능을 보인다. 특히 그림 6(a)에서와같이 시간 지연이 상대적으로 큰 경우에 추정 오차가 갑자기 커지는 문턱 현상이 AC-GCC-PHAT 방법[10]보다 2dB만큼 확대되는 효과가 있음도 관찰할 수 있다. 또 이차 자기 상관법[11]과 비교하면 신호 대 잡음비 –2dB 이상에서 약 2dB~16dB 정도 향상된 성능을 보인다.

Fig. 6.

Performance comparison with white gaussian signal source

그림 7은 두 번째 실험의 결과를 나타낸 그림이다. 그림 7에서 보면 유색 신호원에 대해 시간 지연에 상관없이 제안한 방법에 따라서 추정 성능이 향상됨을 관찰할 수 있다. 그림 7(a)와 같이 시간 지연이 상대적으로 큰 경우에 제안한 방법인 기존 AC-GCC-PHAT 방법에 특해치 분해 신호처리를 적용한 것을 기존 AC-GCC-PHAT 방법[10]과 비교하면 신호 대 잡음 비가 약 3dB 이상에서 약 1dB~6dB 정도 향상된 성능을 보였다. 또 이차 자기 상관법[11]과 비교할 때 신호 대 잡음비 3B 이상에서 약 1dB~12dB 정도 향상된 성능을 보인다.

Fig. 7.

Performance comparison with colored signal source

그림 7(b)와 같이 시간 지연이 상대적으로 적으면 제안한 AC–GCC- PHAT 방법에 특해치 분해 신호처리를 적용한 방법을 기존 AC-GCC-PHAT 방법[10]과 비교하면 신호 대 잡음 비가 약 8dB 이상에서부터 약 2dB~4dB 정도 향상된 성능을 보인다. 이 경우 문턱 현상 확대 효과는 없었다. 또 이차 자기 상관법[11]과 비교하면 신호 대 잡음비 8B 이상에서 약 4dB~10dB 정도 향상된 성능을 보인다.

본 절에 행한 두 모의실험을 통해서 제안한 방법이 기존 AC-GCC-PHAT 방법의 시간 지연추정 성능을 더 향상시키는 것을 알 수 있었다.

Ⅴ. 결론 및 향후 과제

두 신호 간의 시간 지연을 추정하기 위해서 AC-GCC-PHAT 방법에 특해치 분해 신호처리를 적용한 새로운 시간 지연추정법들을 제안하였다. 제안한 방법은 기존 AC-GCC-PHAT의 주파수 영역에서 자기 상관을 통해서 주기성을 더욱 잘 나타나게 하는 기능에 특해치 분해 신호처리를 추가하여 주기성 신호를 더욱 도드라지게 하였다. 그 결과 제안한 방법이 AC-GCC-PHAT 방법의 신호 지연추정과 비교하면 백색 신호원에서는 5dB~8dB 정도의 성능 향상을 보였고, 유색 잡음에서는 1dB에서 4dB 내외의 성능을 향상시킬 수 있음을 보였다. 본 연구 결과를 실내에서 GCC-PHAT와 수신기 배열을 이용한 음원 위치 추정에 적용한다면 위치 추정 성능 향상을 기대할 수 있을 것이다.

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