시변 시스템 추정 성능 개선을 위한 이중 슬라이딩 윈도우 재귀 최소 제곱 알고리즘

2.1 SW-RLS

어떤 시스템이 식 (1)과 같이 모델링 될 때,

여기서 y_k는 시스템의 출력 신호이고, x_k는 시스템의 임펄스 응답이고, ν_k는 주변 잡음이다. 입력 신호로 구성된 입력 벡터는 $$ {\mathbf{u}}_{\mathrm{k}}=\left[u_k,u_{k-1},\cdots ,u_{k-N+1}\right]$$ 이다.

슬라이딩 윈도우를 사용하면 오래된 데이터를 폐기하여 과거 데이터가 추정에 미치는 영향을 줄이며, RLS 알고리즘보다 더 나은 추적 성능을 보여준다. 식 (2)과 같이 유한 길이 L_s로 윈도우된 지수 가중 제곱 오차 함수가 있을 때,

여기서 ρ는 망각 계수이다. 식 (2)을 x_k에 대해 미분을 수행하고 결과를 0으로 설정하면, $$ {\tilde{\mathrm{J}}}_k$$를 최소화하는 x_k의 최적 추정값을 얻을 수 있다.

여기서 $$ {\widetilde{\mathbf{\text{R}}}}_k=\sum _{i=k-L_s+1}^k{\rho }^{k-i}{\mathbf{\text{u}}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\text{u}}}_{\mathrm{i}},$$, $$ {\widetilde{\mathbf{\text{R}}}}_k^{-1}={\widetilde{\mathbf{\text{P}}}}_k$$이고 $$ {\tilde{\mathit{\gamma }}}_k=\sum _{i=k-L_s+1}^k{\rho }^{k-i}{\mathbf{\text{u}}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}{\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}$$ 이다. SW-RLS는 식 (4)으로 최신 데이터를 추가하고, 식 (5)으로 제일 오래된 데이터를 탈락시킨다. 이 두 과정을 통해서 매번 L_s로 미리 정한 길이의 데이터 창을 유지하면서 상호 상관 행렬의 역행렬을 계산한다.

그러므로 식 (4), 식 (5) 및 식 (3)을 번갈아 계산하면 SW-RLS가 완성된다[7].

2.2 이중 윈도우 SW-RLS를 위한 윈도우 선택 논리

단일 윈도우를 사용하는 일반 SW-RLS를 사용할 경우, 일반적으로 빠른 시변성 추적과 정상 상태에서 높은 정확도를 동시에 달성하기가 어렵다. 본 논문은 우수한 시변 시스템 추적과 높은 정확도를 동시에 달성하기 위해서 두 개의 다른 길이의 윈도우를 사용하는 SW-RLS 알고리즘을 제안한다. 제안한 알고리즘은 빠른 변화가 감지될 경우, 길이가 짧은 윈도우를 택하고, 변화가 매우 완만하거나 거의 없는 경우, 길이가 긴 윈도우를 택하게 하는 논리를 기존 SW-RLS에 결합한다.

윈도우 길이를 자동으로 조정하기 위한 척도로써 가변 망각 계수를 사용한다. 이는 가변 망각 계수가 시스템의 변화를 반영하도록 고안되었기 때문이다. 본 논문에서는 계산량이 적고 안정적 동작하는 Park[6]이 제안한 가변 망각 계수 $$ \rho \left(k\right)={\rho }_{\max }\cdot 2^{-\left(\alpha \overline{{\left|e\left(k\right)\right|}^2}\right)}$$,(단 $$ \overline{{\left|e\left(k\right)\right|}^2}$$는 데이터 윈도우 내의 추정 오차 평균 에너지, $$ e\left(k\right)=y_k-{\mathbf{\text{u}}}_{\mathrm{k}}{\widehat{\mathbf{\text{X}}}}_{\mathrm{k}}$$, ρ_max는 최대 망각 계수, α는 스케일 상수),를 사용했다. 제안한 두 개의 데이터 윈도우를 운용하는 논리는 그림 1에 정리하였다. 2.1에 정리한 SW-RLS에 그림 1에 정리한 윈도우 선택 논리를 적용함으로써 시변 환경에 능동적으로 적응하는 이중 윈도우 SW-RLS가 될 수 있다. 제안한 알고리즘의 계산 복잡도를 알아보기 위해서 표 1을 보면 기존 SW-RLS는 그대로 사용하고 여기에 그림 1에 설명한 윈도우 선택 논리만이 추가됨을 알 수 있다. 따라서 부가되는 계산 복잡도를 곱셈 횟수로 생각하면, 가변 망각 계수 $$ \rho \left(k\right)={\rho }_{\max }\cdot 2^{-\left(\alpha \overline{{\left|e\left(k\right)\right|}^2}\right)}$$를 계산하는 kN번이 추가된다. 여기서 N은 필터 차수이고 k는 지수함수를 계산할 때 사용하는 테일러 전개식의 차수에 따라 달라진다.

Fig. 1.

Window selection logic

Table 1.

Dual window SW-RLS algorithm

따라서 5N²+8N+6[7]의 곱셈을 사용하는 기존 SW-RLS에 대해서 상대적으로 적은 계산량 증가라고 할 수 있다. 표 1에 제안한 이중 윈도우 SW-RLS 알고리즘을 정리하였다.

3.1 급격한 채널 변화가 있는 시스템의 추정

본 실험에서는 Li[8] 등이 제안한 가변 망각 계수 논문에서와 같은 가변 채널 환경에서 여러 알고리즘의 성능을 서로 비교하였다.

설정한 가변 시스템은 임펄스 응답 h₁ = [1.0, 0.5, 2.0, 0.3, 0.7]이 시간 스텝 500에서, h₂ = [-0.2, -0.5, -1.0, -0.4, -2.0]으로 급격한 변하는 환경에서 윈도우 길이가 200인 SW-RLS[7]와 윈도우 길이가 10인 SW-RLS[7] 및 가변 망각 계수를 사용하는 RLS[8]와 길이 200인 윈도우와 길이 10인 윈도우를 다 사용하는 제안된 알고리즘을 서로 비교하였다. 윈도우 선택에 사용되는 망각 계수 ρ(k)의 ρ_max는 0.99로 설정하였다. 그리고 각 알고리즘을 신호 대 잡음 비 20dB와 5dB 환경에서 1000번씩 반복 실험하였다. 추정 성능을 알아보기 위해서 추정 성능의 척도는 추정 시스템의 평균 표준 편차(MSD, Mean Standard Deviation)를 사용하였다.

여기서 x_true는 시스템 파라미터 참값이고, x_estim은 추정한 파라미터 값이다.

그림 2(a)는 신호 대 잡음 비가 20dB일 때 4가지 알고리즘의 시스템 추정 정확도를 비교한 결과이다. 짧은 윈도우 SW-RLS는 변화에 빠른 반응을 하는 한편 수렴 후 MSD가 –21dB로 가장 나빴다. 반면 긴 윈도우 SW-RLS는 변화에 가장 늦게 반응한 반면 수렴 후 MSD가 –38dB로 가장 좋았다. 그리고 가변 망각 계수를 사용하는 RLS[8]의 경우 짧은 윈도우 SW-RLS만큼 빨리 변화에 반응하였고, MSD 면에서는 –31dB로 짧은 윈도우 SW-RLS보다는 좋고 긴 윈도우 SW-RLS보다는 나쁜 결과를 보였다. 이에 비해서 제안한 알고리즘은 가변 망각 계수를 사용하는 RLS만큼 빨리 변화에 반응하였고, 수렴 후 MSD도 –38dB가 되어 긴 윈도우 SW-RLS만큼 좋은 추정 성능을 보였다. 그림 2(b)는 신호 대 잡음 비가 5dB일 때 4가지 알고리즘의 시스템 인식 정확도를 비교한 결과이다. 이 경우에도 그림 2(a)와 같은 경향을 보임을 확인할 수 있다. 이와 같은 결과는 변화가 일어나는 부분에서 빠르게 창길이를 줄여서 짧은 윈도우 SW-RLS로 동작하다가 변화가 완만해지면 긴 윈도우 SW-RLS로 동작하도록 만든 제안한 알고리즘의 특성이 잘 나타났다고 할 수 있다.

Fig. 2.

MSD comparison results in the abruptly changed system case * 1)VFF-RLS (variable forgetting factor RLS)

3.2 점진적인 채널 변화가 있는 시스템의 추정

본 비교 실험에서는 시스템의 임펄스 응답이 h1에서 h2로 500 스텝부터 700 스텝 사이에서 선형적으로 변하는 환경에서 기존의 SW-RLS와 가변 망각 계수를 사용하는 RLS[8] 및 제안한 알고리즘을 비교하였다. 나머지는 3.1절의 실험 조건과 같다. 본 실험은 가변 망각 계수 RLS에선 비교적 좋은 결과가 나오는 반면 기존의 단일 길이 윈도우 SW-RLS의 경우 좋은 성능을 얻기 어려운 실험 환경에 해당한다.

그림 3(a)은 신호 대 잡음 비 20dB일 때 4가지 알고리즘의 시스템 인식 정확도를 비교한 결과이다. 결과를 보면 채널이 시스템이 선형적으로 변동하는 구간에서, 긴 윈도우 SW-RLS는 변화에 매우 느리게 적응을 하고 있지만, 수렴 후 MSD는 -38dB였고, 짧은 윈도우 SW-RLS는 변화 구간에 거의 정확하게 맞춰서 적응하였지만, 수렴 후 MSD는 –21dB로 제일 나빴다. 가변 망각 계수 RLS는 짧은 윈도우 SW-RLS와 거의 유사한 변화 추적성을 보였고 수렴 후 MSD는 –31dB이 되었다. 제안한 알고리즘은 변화 추적 시작은 다른 알고리즘과 같고 종료 시점은 긴 윈도우 SW-RLS와 같아 보이지만, 가변 망각 계수와 같은 수렴 후 MSD를 기준으로 할 때, 추정 성능은 가변 망각 계수 RLS에 가깝다고 할 수 있다. 그러나 수렴 후 MSD는 약 -38dB로써 긴 윈도우 SW-RLS와 같은 성능을 보였다.

Fig. 3.

MSD comparison results in the gradually changed system case * 1)VFF-RLS (variable forgetting factor RLS)

그림 3(b) 는 신호 대 잡음 비가 5dB일 때 4가지 알고리즘의 시스템 인식 정확도를 비교한 결과이다. 이 경우에도 그림 3(a)과 같은 경향을 보임을 확인할 수 있다. 점진적인 채널 변화 환경에서 시스템 추정 실험에서도 제안한 알고리즘이 빠른 변화 추적 성능 및 우수한 수렴 후 추정 정확도를 제공한다는 것을 확인할 수 있었다. 그러나 점진적 변화 구간에서 추적 성능이 짧은 윈도우 SW-RLS와 똑같이 동작하지 않은 점은 채널이 점진적으로 변화하기 때문에 그림 1의 알고리즘상에서 긴 윈도우 SW-RLS와 짧은 윈도우 SW-RLS가 수시로 바뀌는 현상이 일어나기 때문으로 분석된다. 그러나 그림 3 전체 결과를 보면 제안된 방법이 점진적으로 변화하는 시스템 환경에서도 변화 구간 내에서 짧은 윈도우와 긴 윈도우 간에 스위칭을 통하여 기존 단일 윈도우를 사용하는 SW-RLS의 취약점을 충분히 만회하고 있음을 확인할 수 있다.