구간별 선형 혼돈계를 이용한 스마트그리드 IoT 보안 통신 설계

2.1 혼돈계의 특징

혼돈계는 20세기 중반 이후 비선형 동역학의 특성을 연구하는 과정에서 발전된 비선형 복잡 시스템의 대표적인 형태로 비연속적인 결괏값을 생성하는 이산구조 혼돈계와 연속적인 결괏값 생성하는 미분방정식 형태의 혼돈계로 구분된다.

혼돈계는 결정론적 방정식에 의해 지배되지만, 생성되는 신호는 통계적으로 난수와 유사한 성질을 보이고 있으며[7], 초깃값에 대한 민감성과 결괏값에 대한 장기적인 예측이 불가능한 특성이 있기 때문에 암호화, 보안 통신, 난수발생기 등 다양한 분야에 적용할 수 있는 잠재력을 가지고 있다고 할 수 있다[8].

보안 통신 연구에 활용되는 대표적인 이산 혼돈계는 1차원 형태의 Logistic-map, Tent-map 등이 있고 2차원 형태의 혼돈계는 Henon-map, Ikeda-Map, Duffing-Map 등이 있다.

2.2 Logistic map 혼돈계

로지스틱맵은 생태학적 개체수 변동을 설명하기 위해 로버트 메이(Robert M. May)가 제안한 1차원 이산 비선형 동역학 모델이다. 단순한 형태의 모델이지만 다양한 혼돈계의 현상을 나타내는 대표적인 혼돈계로 널리 연구되고 있다. 로지스틱맵의 이산 방정식을 식 (1)에 보인다. 식 (1)에 매개변수 r값의 변화에 따라 다양한 혼돈 특성을 보이고 r값이 3.9에서 잡음과 유사한 혼돈 신호를 발생한다.

2.3 Henon map 혼돈계

해논맵은 프랑스의 수학자 미셀 해논(Michel Henon)이 1976년에 제안한 2차원 이산 비선형 동역한 시스템으로, 간단한 수식으로 복잡한 혼돈 현상과 자기 유사성 구조를 보여주는 대표적인 혼돈계이다. 해논맵의 이산 방정식을 식 (2)에 보인다. 해논맵은 매개변수 a, b에 따라 다양한 동역학적 특성을 보이는 혼돈계이다.

2.4 Tent map 혼돈계

텐트맵은 1차원 이산 비선형 동역학 시스템의 대표적인 혼돈계로 방정식의 형태가 삼각형 구조로 되어 있어 텐트맵이라고 한다. 단순한 구조에서 비선형성과 초깃값 민감성을 나타내며 암호연구에 많이 사용되는 혼돈계이다. 텐트맵의 이산 방정식을 식 (3)에 보인다. 매개변수 β값의 변화에 따라 다양한 혼돈 특성을 보이며, β값이 1.9일때 잡음과 유사한 혼돈 신호를 생성한다.

우리는 스마트그리드 보안 통신에 적용하기 위해 텐트맵을 변형한 구간별 선형 혼돈계를 설계하고 그 내용을 다음과 같이 제안한다.

3.1 구간별 선형 혼돈계

암호화에 많이 사용되는 텐트맵은 생성되는 혼돈 신호의 분포가 로지스틱맵이나 해논맵에 비해 균등한 특성이 있어 암호화에 유리한 장점이 있다. 그러나 상대적으로 낮은 비선형성으로 보안 적용 시 한계가 존재한다. 본 연구에서는 텐트맵의 비선형을 강화한 구간별 선형 혼돈계(PWLCM, Piecewise Linear Chaotic Map)를 제안하고 보안이 취약한 스마트그리드의 사물인터넷에 적용하는 연구를 진행하였다.

구간별 선형 혼돈계는 입력구간을 여러 개의 구간으로 나누어 각 구간에 서로 다른 선형함수를 적용하여 출력값이 다른 형태를 보이는 변형 이산 혼돈 시스템이다. 제시된 구간별 선형 혼돈계는 구조는 간단하지만 강한 비선형 동역학 특성과 넓은 혼돈영역을 나타내므로, 사물인터넷과 같은 자원 제약 환경의 통신 시스템에서 경량 암호화 적용에 효과적이라고 할 수 있다.

본 연구에서 사용된 4구간 선형 혼돈계의 방정식을 식 (4)에 보이고 혼돈 신호 발생 구조인 Return map을 그림 2에 보인다.

Fig. 2.

Return map of the piecewise linear chaos system

Return map은 x_n과 x_n+1의 관계를 나타낸 그래프로, 혼돈 신호의 발생 구조를 분석하기 위해 사용된다. 그림 2의 적색 선은 대각선을 나타낸 것이다.

3.2 PWLCM 혼돈계의 특성 분석

혼돈 시스템은 지배방정식의 매개변수에 따라 안정 상태와 혼돈 상태로 전이하며, 다양한 혼돈 특성을 보인다. 보안 통신에서 이러한 매개변수는 공개키로 사용될 수 있으므로, 매개변수 공간 전반에서 일관된 혼돈 특성을 유지하는 것이 암호화 성능 향상에 효과적이라고 할 수 있다.

제시된 구간별 선형 혼돈계의 특성을 파악하기 위해 매개변수 변화에 따른 갈래 질 도표를 그림 3에 보인다.

Fig. 3.

Bifurcation plot of the chaotic system (a) Tent map, (b) Piecewise linear chaotic map

그림 3(a)는 텐트-맵의 갈래 질 도표를 나타낸다. 매개변수 β값이 1.0 근처에서만 x_n값이 (0, 1)구간에 분포하는 혼돈 신호가 발생한다. 이와 같은 특성은 키 공간의 제약으로 안전성을 심각하게 저하할 수 있다.

구간별 선형 혼돈계 방정식에서 p₂와 p₃값을 각각 0.6과 0.8로 설정하고 p₁값을 0.0에서 0.5까지 변화시키며 계산된 신호의 갈래 질 도표를 그림 3(b)에 보인다. 그림에서 확인할 수 있듯이 발생하는 신호는 매개변수 변화에 따라 x_n값이 (0, 1)구간 내에서 비교적 균등하게 분포되는 특성을 보인다.

혼돈계를 이용한 암호화 기법에 관한 선행 연구를 살펴보면, 디지털 혼돈계[9]는 자원제약이 큰 RFID 환경에서 경량 암호화를 구현하기 위해 곱셈 연산을 쉬프트 레지스터로 대체한 16비트 연산 기반 암호화 방법이다. 그러나 이 방식은 초깃값이 키로 사용되기 때문에 키 공간이 제한적이라 보안 측면에서 잠재적인 위험성이 존재한다. 또한 동일한 혼돈계를 2차원으로 확장하여 연결한 혼돈계[10]의 경우 시스템 매개변수 μ에 따라 상태 공간의 모든 영역을 암호화에 활용하기 어렵고, 특정 매개변수 구간에서는 통계적 분포가 균일하지 않아 보안성이 저해될 수 있는 문제점을 가진다. 한편, 새로운 형태의 리턴맵을 갖는 혼돈계[11]는 기존에 알려지지 않은 혼돈 특성을 기반으로 예측이 어려운 장점이 있지만, 이 역시 초깃값에 의해 키 공간이 제안되는 문제점을 갖고 있다.

이와 같이 키 공간이 제한된 암호화 방식은 Brute Force 공격, Dictionary 공격, Key Reuse 공격 등에 취약해질 가능성이 있으며, 이는 전체 암호 시스템의 보안성에 위협이 될 수 있다.

본 연구에서 제안하는 구간별 선형 혼돈계는 기존 연구의 한계로 지적된 키 공간 제한 및 통계적 취약성을 개선하기 위해 여러 제어 변수와 초깃값을 통시에 활용하는 구조를 적용하였다. 이를 통해 보다 확장된 키 공간을 확보하고 통계적 특성을 향상해 기존 방식 대비 높은 보안성을 제공한다.

3.3 PWLCM 혼돈계의 잡음 동기화

본 연구에서 구간별 선형 혼돈계를 사물인터넷 MQTT통신에 적용하기 위해 서로 다른 혼돈계의 동기화 연구를 진행하였다.

동기화는 서로 다른 궤적으로 움직이고 있는 혼돈계를 같은 궤적으로 움직이게 하는 방법으로 우리는 잡음을 이용한 방법을 적용하였다[12].

식 (5)에서 x_n과 y_n은 서로 다른 구간별 선형 혼돈계의 신호 값이고 ξ_n은 두 혼돈계에 공통으로 인가되는 잡음신호이다.

식 (5)에 의해 계산된 시계열을 그림 4에 제시한다. 그림 4(a)는 잡음 신호를 나타내며, 그림 4(b) 와 그림 4(c)는 각각 혼돈계 x와 y에서 생성된 혼돈 신호를 나타낸다.

Fig. 4.

Time-series analysis of noise-induced synchronization in the piecewise linear chaotic system (a) noise signal, (b) master chaotic system, (c) slave chaotic system, (d) difference between chaotic systems, and (e) synchronization state

그림 4(d)는 x, y혼돈계에서 발생한 혼돈 신호의 차이를 나타낸 것으로, 0으로 수렴할 때 두 혼돈계는 동기화되었다고 판단할 수 있다. 그림 4(e)는 동기화 상태를 나타내는 그래프로 그림 4(d)의 값이 정확하게 0으로 수렴한 것을 검증하기 위한 것이다. n = 100에서 잡음신호가 인가되었고, n ≈ 130 부근에서 동기화가 이루어진 것을 확인할 수 있다. 잡음이 인가될 때 잡음 강도 λ는 0.85로 계산하였다. 잡음에 의한 유도된 두 혼돈계의 동기화 특성은 서로 떨어져 있는 두 혼돈계가 같은 궤적을 형성하도록 만드는 것으로, 보안 통신에서는 이러한 특성을 이용하여 공개 채널을 통해 동일한 비밀 키를 공유하는 방식으로 활용될 수 있다.

4.1 MQTT 기반 보안 통신 구조 설계

우리는 스마트그리드의 사물인터넷 환경에서 보안 통신 프로토콜을 구현하기 위해, 그림 4에서 보인 결과를 기반으로 구간별 선형 혼돈계를 MQTT 프로토콜에 적용하는 연구를 수행하였다.

그림 5(a)는 Publisher 측에 공유된 킷값으로 구간별 선형 혼돈계의 초깃값을 계산하는 단계이고, 그림 5(b)는 Subscriber 측에서 공유된 킷값으로 초깃값을 계산하는 단계이다. 서로 다른 $$ x_n^P$$와 $$ x_n^S$$로 계산되기 때문에 결괏값인 $$ x_{n+1}^P$$와 $$ x_{n+1}^S$$는 서로 다른 신호가 생성된다. 이후 그림 5(c) 단계에서 Broker가 잡음신호 ξ_n을 Publisher와 Subscriber에 전송하여 그림 5(d)와 그림 5(e)와 같이 동기화를 진행한다. 동기화 이후 그림 5(f)와 같이 Data를 암호화하여 Broker를 통해 전송하면 그림 5(g)와 같이 복호화하여 Data를 획득하게 된다.

Fig. 5.

Secure MQTT communication flow for smart grids

4.2 히스토그램 분석

제안된 프로토콜의 보안 성능을 시각적으로 평가하기 위해 이미지에 암호화 및 복호화 실험을 진행하였다. 이미지 데이터는 시각적으로 암호화 정도를 분석이 쉬워 보안 성능 평가에 널리 활용되는 데이터 유형이다.

그림 6(a)는 스핑크스(Sphinx) 이미지를 8비트 흑백 이미지로 변환한 것이다. 동기화된 구간별 선형 혼돈계에서 발생한 실수값 x_n을 8비트 정수형으로 변환하여 흑백 이미지와 배타 논리(XOR, Exclusive OR)로 계산하여 암호화 및 복호화를 진행하였다. 그 결과를 그림 6에 보인다. 그림 6(c)는 암호화된 이미지를 나타내며, 그림 6(b)와 그림 6(d)는 각각 원본 이미지와 암호화된 이미지의 히스토그램으로 암호화 이후 균등분포를 유지하는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 6.

Image encryption and decryption using a piecewise linear chaotic system (a) Original image, (b) Histogram of the original image, (c) Encrypted image, (d) Histogram of the encrypted image

4.3 인접 픽셀 상관관계 분석

제안된 프로토콜의 암호화 정도를 분석하기 위해 암호화된 이미지의 특정 픽셀과 인접한 픽셀에 대한 상관관계 분석을 다음과 같이 진행하였다.

식 (6)에서 Cov(x, y)는 공분산을 나타내고, σ_x와 σ_y는 각각 x와 y의 표준편차이다.

상관계수를 이용한 상관관계 분석은 이미지의 공간적 규칙성이 암호화 이후 얼마나 효과적으로 제거되었는지를 평가하는 대표적인 통계적 안정성 지표이다. 암호화가 효과적으로 처리된 경우, 상관계수는 0에 가까운 값을 나타낸다.

Table 1.

Correlation anslysis of the encrypted image

4.4 픽셀 변화율과 평균 변화 강도

픽셀 변화율(NPCR, Number of Pixel Change Rate)은 원본 이미지와 그 이미지의 한 픽셀을 변경시킨 이미지를 각각 암호화하고, 두 이미지의 픽셀 변화 정도를 정량적으로 평가하는 지표로 암호화 정도를 측정하는 대표적인 방법이다. 계산된 NPCR 값이 99% 이상일 때 이상적으로 암호화가 되었다고 판단한다. 우리가 제안한 구간별 선형구조 혼돈계의 NPCR 값은 99.57%로 통계적 공격에 대한 높은 민감도와 우수한 확산 특성을 갖는다고 할 수 있다. 식 (7)의 W과 H는 이미지의 가로, 세로 크기를 나타내고, D(i, j)는 두 이미지의 i행, j열 픽셀이 서로 같다면 0, 다르면 1을 나타내는 함수이다.

평균 변화 강도(UACI, Unified Average Changing Intensity)는 암호화된 두 이미지 간 픽셀값 변화의 평균 강도를 나타내는 지표로 NPCR과 함께 암호화의 정도를 파악하는 대표적인 지표이다. UACI가 높으면 픽셀값이 크게 바뀌어 차분 공격에 강한 특성을 갖게 되고 UACI 값이 작으면 확산이 부족하여 공격에 취약한 특성을 갖게 된다. 이상적인 값은 33%이고, 우리가 제안한 방법은 33.67%의 특성을 나타내고 있다.

식 (8)에서 C(i, j)와 $$ C^{\prime }\left(i,j\right)$$는 암호화 된 두 개의 이미지를 나타낸다.