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연속 신호 x(t)를 샘플링한 임의의 이산 신호 x[n]의 평균과 자기 상관 함수가 시간에 따른 주기 함수인 경우, 그 신호를 2차 순환 정상 과정(Second-order cyclostationary process) 신호라고 한다[11]. 또한 x[n]이 2차 순환 정상 과정 신호라면 x[n]의 자기 상관 함수는 푸리에 급수(Fourier series)로 표현할 수 있으며 그 때의 푸리에 계수(Fourier coefficient) Rxxαl를 순환 자기 상관 함수(Cyclic autocorrelation function, CAF)라고 한다. 특히 x[n]이 ergodic 과정이라고 가정하면 CAF는 식 (5)와 같이 정의된다.

여기서 Rxxαl≠0을 만족하는 주파수 성분 α를 순환 주파수(Cyclic frequency)라고 하며, 본 논문에서는 α를 -12,12의 범위를 갖는 정규화된 주파수로 가정한다. 한편, 식 (5)에 α = 0을 대입하면 Rxxαl는 정상 과정(Stationary process) 신호의 자기 상관 함수가 된다.

식 (5)로 부터 x[n]의 샘플 M개에 대한 CAF의 일치 추정량(Consistent estimation)을 식 (6)을 이용하여 구할 수 있다.

식 (6)을 살펴보면 R^xxαl은 xnx*n+l의 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier transform)을 샘플 수 M으로 나누어준 결과다. 따라서 실제 알고리즘을 구현할 때는 고속 푸리에 변환(FFT, Fast Fourier Transform)을 이용하여 R^xxαl을 계산할 수 있다.

통신에 사용되는 대부분의 신호는 송신단의 필터링, 확산 과정, 변조 등의 이유로 신호의 통계적 특성이 시간에 따른 주기 함수인 순환 정상성 신호다. 따라서 통신에 사용되는 신호들은 순환 자기 상관 함수와 순환 주파수를 이용한 신호 분석이 가능하다. 반대로 AWGN은 자기 상관 함수가 시간에 상관없이 일정한 신호로 순환 자기 상관 함수의 값이 α = 0일 때만 존재하고 다른 주파수에서의 값은 0이다. 이러한 통신 신호와 잡음의 CAF 특성 차이는 수신기에서 통신 신호와 잡음을 구별하는 단초가 된다.

일반적인 기저 대역의 송신 신호는 송신기의 대역 제한(Band limited) 필터를 고려하였을 때 0, ±TeTs의 순환 주파수를 가진다. 반면 DSSS 신호 s~t는 동일한 확산 부호가 메시지 신호에 주기적으로 곱해지는 형태로 일반적인 기저 대역의 신호와는 달리 0,±kTeTs, (k는 정수)의 순환 주파수를 갖게 된다[12]. 이는 DSSS 생성 과정에서 서로 다른 전송률을 갖는 두 신호가 곱해지므로 각 신호의 순환 주파수의 차들이 DSSS 신호의 순환 주파수가 되기 때문이다. 그림 2에는 잡음이 없는 상황에서 P = 63인 DSSS 신호 s~t의 R^xxα0을 나타냈다. 이 때 샘플링은 칩률의 8배, 샘플 수는 2¹²개, 송신단의 필터는 롤 오프 계수가 0.5인 제곱근 올림 코사인 필터를 가정하였다. 그림 2에서 볼 수 있듯이 확산 신호의 경우, R^xxα0의 peak값들이 여러 곳에서 나타난다. 즉, DSSS 신호는 순환 주파수가 여러 개인 순환 정상성 신호임을 알 수 있다.

Fig. 2. 
Cyclic autocorrelation function of the DSSS signal

식 (6)의 R^xxαl는 유한한 M개의 샘플에 대하여 얻은 값으로 실제 Rxxαl와 추정 오차 ϵxxαl만큼의 차이가 존재한다. 따라서 R^xxαl와 Rxxαl간에 식 (7)의 관계식이 성립한다.

만약 수신기에서 잡음만 수신하였다고 가정하면 잡음의 Rxxαl는 α ≠ 0이 아닌 모든 주파수에서 0이므로 수신 신호의 Rxxαl 역시 α ≠ 0이 아닌 모든 주파수에서 0이 될 것이다. 그러나 수신기에서 실제로 얻을 수 있는 값인 Rxxαl의 추정치 R^xxαl는 ϵxxαl의 값으로 인해 α ≠ 0임에도 0이 아닌 값을 갖게 된다. 따라서 수신기에서 단순히 R^xxαl≠0인 α를 순환 주파수로 추정하여 순환 정상성 신호가 수신되었다고 판정한다면 오경보 발생 확률이 매우 커진다. 이러한 이유로 유한한 샘플 개수에 대해 발생하는 추정 오차를 고려하여 수신 신호의 순환 정상성을 검정하는 방법들이 제시되었다. 이들 중 가장 대표적인 검정 방법은 M이 무한대일 때 추정 오차가 점근적인 복소 정규 분포(Asymptotic complex normal distribution)를 따름을 이용한 것으로 신호의 순환 정상성을 검정하는데 널리 사용되고 있다[8].

먼저 u개의 시간 지연 l₁,l₂, ..., l_u에 대한 R^xxαl의 실수부와 허수부로 이루어진 (1 × 2u)길이의 벡터 r^xxα를 식 (8)과 같이 구성한다.

이 때, 식 (8)의 r^xxα은 식 (7)의 관계식으로 인하여 Rxxαl의 실수부와 허수부로 구성되는 벡터 rxxα와 ϵxxαl의 실수부와 허수부로 구성되는 벡터 ϵxxα의 합으로 표현되며, 추정 오차로 이루어진 벡터 ϵxxα는 다음을 만족한다.

여기서 ⇒D는 분포 변환(Conversion in distribution)을, N0,Σxxα은 평균이 0이고 공분산이 Σxxα인 다변수 정규 분포(Multivariate normal distribution)를 나타낸다. 즉, 각 시간 지연에 대한 추정 오차의 확률 분포는 샘플의 수가 무한대일 때 복소 정규 분포를 따른다. 추정 오차 벡터에 대한 공분산 행렬 Σxxα는 식 (10)으로 구할 수 있다.

식 (10)의 Q_xx와 Qxx*은 (u × u)의 행렬로 다음과 같이 계산된다.

여기서 L은 크기가 W인 정규 스펙트럼 윈도우 함수를 뜻하고, FM,ld=∑n=0M-1xnx*n+le-jdn이다[8].

만약 특정 주파수 α와 특정 시간 지연 l에서 신호에 순환 정상성이 존재한다면 Rxxαl의 값이 0이 아니기 때문에 Mr^xxα은 점근적으로 평균이 0이 아닌 다변수 복소 정규 분포를 따른다. 반대로 특정 α와 l에서 순환 정상성이 존재하지 않는다면 Rxxαl의 값이 0이므로 Mr^xxα은 점근적으로 평균이 0인 다변수 복소 정규 분포를 따른다. 이를 이용하여 General likelihood ratio test 기법의 통계량을 유도하면 아래와 같다. 식 (13)의 (·)-1 과 (·)T는 행렬의 역행렬과 전치 행렬을 나타낸다.

앞에서 설명한 것과 같이 수신 신호가 순환 정상성 신호인 경우 Mr^xxα은 점근적으로 평균이 0이 아닌 다변수 복소 정규 분포를 따르기 때문에 Λxα는 점근적으로 자유도(Degrees of freedom)가 2u인 비중심 카이 제곱 분포(Non-central Chi squared distribution)를 따른다. 반대로 수신 신호가 잡음인 경우, Mr^xxα은 점근적으로 평균이 0인 다변수 복소 정규 분포를 따르기 때문에 잡음의 분산과 관계없이 Λxα 는 자유도가 2u인 중심 카이 제곱 분포 (Central chi squared distribution) χ2u2으로 수렴한다. 즉, 수신 신호의 검정 통계량 Λxα가 χ2u2를 따른다면 수신 신호를 잡음이라고 판정할 수 있다.

오경보 확률 P_FA는 수신 신호가 잡음일 때 검정 통계량이 임계값 이상인 경우로 식 (14)와 같이 정의할 수 있다. 따라서 식 (14)로부터 중심 카이 제곱 분포의 누적 질량 함수의 역함수를 이용하여 설정한 오경보 확률에 대한 순환성 검정의 임계값을 계산할 수 있다.

앞 장에서 살펴본 것과 같이 DSSS 신호는 l = 0일 때 순환 주파수가 α=kTeTs인 순환 정상성 신호다. 따라서 순환성 검정을 통해 DSSS 신호를 탐지가 가능하다[9]. 이 때 T_s를 사전에 알 수 없는 블라인드 상황에서는 DSSS 신호의 순환 주파수인 kTeTs를 알 수 없기 때문에 특정 주파수에서의 순환성 검정이 불가능하므로 가능한 모든 주파수에 대해 검정 통계량을 계산하고 이를 임계값과 비교한다. 수신기의 저역 통과 필터 g(t)의 정규화된 대역폭을 h라고 가정하면 2h보다 큰 순환 주파수는 존재하지 않기 때문에 가능한 순환 주파수의 범위는 α ≤ 2h를 만족한다.

만약 수신 신호가 DSSS 신호라면 l = 0, α=kTeTs에 대하여 계산한 y[n]의 검정 통계량 Λyα가 높은 확률로 식 (14)를 통해 설정된 임계값 γ보다 클 것이다. 반대로 수신 신호가 잡음이라면 모든 주파수에 대해서 Λyα은 높은 확률로 γ보다 작을 것이다. 따라서 0 < α ≤ 2h를 만족하는 주파수 대역에서 Λyα을 계산하고 임계값보다 큰 Λyα이 존재하면 수신 신호를 DSSS 신호로, 존재하지 않는다면 수신 신호를 잡음이라고 판정한다. 순환 정상성 검정을 이용한 DSSS 신호 탐지 기법을 알고리즘으로 요약하여 나타내면 다음과 같다.

[9]에서 제안한 DSSS 신호 탐지 기법의 복잡도를 계산하기 위해 각 과정에서 사용한 덧셈과 곱셈의 개수를 분석한다. 간단한 계산을 위해 수신 샘플 수 M은 2의 거듭제곱을 만족한다고 가정한다. 특정한 순환 주파수 α와 특정 지연 l에 대한 검정 통계량을 계산하는데 필요한 덧셈과 곱셈의 횟수를 각각 A와 B라고 했을 때 A와 B는 다음을 만족한다[10].

수신 신호의 순환성 검정은 0 < α ≤ 2h를 만족하는 주파수 ⌊2hM⌋개에 대해 각각 진행되기 때문에 DSSS 신호 탐지 알고리즘에서 수행되는 총 덧셈과 곱셈의 횟수는 각각 ⌊2hM⌋ A회와 ⌊2hM⌋ B회다. 보통 식 (10)을 계산하는데 사용되는 윈도우의 크기 W는 M에 비례하도록 값을 설정하므로[9][10] W = ξM로 가정하여 기존 알고리즘의 계산 복잡도를 나타내면 O(M²log₂M)이다. 이를 통해 순환 정상성을 이용한 DSSS 신호 탐지 방식은 샘플의 수가 많을수록 복잡도가 급격하게 증가함을 알 수 있다. 즉, 신호의 탐지에 필요한 시간이 샘플의 수에 대해 지수적으로 증가하기 때문에 낮은 SNR에 대해서도 우수한 탐지 성능을 갖기 위해 샘플의 수를 많이 수집한 경우, 탐지에 있어 많은 시간이 소요된다는 단점이 있다.

기존에 제시된 알고리즘은 DSSS 신호를 탐지하기 위해 0 < α ≤ 2h를 만족하는 모든 주파수에서 순환성 검정을 실시하였다. 이 때, 수신 신호가 DSSS 신호인 경우, 전체 주파수⌊2hM⌋개 중 순환 주파수의 개수는 0<k≤2hTsTe를 만족하는 정수의 개수로 검정을 진행하는 주파수의 수인 ⌊2hM⌋와 비교하였을 때 제한적이다. 예를 들어 기저 대역에서의 수신 필터의 대역폭이 신호의 대역폭과 같다고 가정한다면 0 < k ≤ P이므로 검출 가능한 최대 순환 주파수의 수는 P개다. 이 경우, ⌊2hM⌋개의 주파수에 대해서 검정을 진행하는 것보다 P개의 주파수에 대해서만 검정을 진행하는 것이 효율적이다. 즉, 순환 주파수 추정을 통해 주파수 탐색 범위를 제한시키면 계산 복잡도와 탐지 시간을 줄일 수 있을 것이다.

따라서 본 논문에서는 순환 자기 상관 함수를 통해 DSSS 신호의 순환 주파수 kTeTs로 예상 되는 주파수 V개를 우선 선정하여 선정된 주파수들에 대해서만 Λyα을 계산하고 임계값과 비교하는 방안을 제안한다.

먼저 순환 주파수를 선정하기 위해 식 (6)을 이용해 수신 신호 y[n]의 R^yyα0를 구한다. 1장에서 살펴본 것처럼 R^yyα0은 α=kTeTs을 만족하면 peak값을 갖게 된다. 이 때 신호의 CAF는 송신단에서 사용한 필터의 롤 오프 계수가 작아 필터의 초과 대역폭(Excess bandwidth)이 작은 경우 필터의 형태에 의해 높은 주파수에서의 R^yyα0이 작다[13]. 이 경우 α=kTeTs이더라도 R^yyα0가 작은 값을 갖게 되기 때문에 R^yyα0의 peak값들을 통해 α = kTeTs를 만족하는 주파수를 선정하기 어렵다. 대부분의 시스템에서는 대역폭 효율을 고려하여 롤 오프 계수가 작은 필터를 사용하므로 작은 롤 오프 계수에 대해서도 순환 주파수를 탐색할 수 있는 방법이 필요하다.

CAF에 대한 필터의 초과 대역폭의 영향은 신호의 순환 정상성을 이용한 블라인드 심볼률 추정 또는 반송파 주파수 추정 등 다른 송신 파라미터 추정에서도 동일하게 발생하는 문제로 이를 해결하기 위해 다양한 연구가 진행되었다[13][14].

본 논문에서는 이들 중 순환 자기 상관 함수의 크기가 특정 임계값 ρ보다 큰 순환 주파수들에 대하여 순환 주파수만큼의 가중치를 곱하는 기법[14]을 적용한 후 peak를 탐색하여 순환 주파수를 선정한다. 위와 같은 기법을 적용하면 순환 주파수가 큰 경우에서의 R^yyα0가 가중치를 적용하기 전보다 커져 값이 큰 순환 주파수도 검출이 가능하다. 순환 주파수 α에 대해 가중치가 적용된 순환 자기 상관 함수의 크기를 X^α라고 할 때, X^α는 식 (17)과 같이 계산된다. 이 때 가중치에 대한 임계값은 식 (18)로 설정하였다.

식 (17)과 (18)을 이용하여 모든 주파수에 대해 X^α를 계산한 뒤, X^α의 최댓값의 β% 이상의 값을 갖는 peak들을 탐색한다. 탐색된 X^α의 peak에 해당하는 주파수 α는 신호의 순환 주파수일 확률이 높으므로 peak 값들에 해당하는 주파수 α를 순환 주파수로 추정하고 이러한 주파수를 최대 V개 선정한다. 여기서 V와 β는 설계 파라미터로 설정한다. 이후 수신기에서는 선정된 V개의 주파수의 집합, Cand에 대해 α∈Cand를 만족하는 주파수들에 대해서 Λyα을 계산하여 임계값 이상의 Λyα가 존재하면 수신 신호를 DSSS 신호로 판정하고 그렇지 않으면 수신 신호를 잡음으로 판정한다. 제안하는 알고리즘을 요약하면 아래와 같다.

제안하는 알고리즘은 기존의 알고리즘[9]과 달리 X^α를 계산하는데 추가적으로 2⌊2hM⌋+1회의 덧셈과 ⌊2hM⌋+1회의 곱셈, 3⌊2hM⌋회의 비교 연산이 필요하다. 또한 V개의 주파수를 선정할 때 β max (X^α)를 계산하기 위해 ⌊2hM⌋번의 곱셈과 2⌊2hM⌋회의 비교 연산이 필요하다. 이후 V개의 주파수에 대해 순환성 검정을 진행하므로 VA회의 덧셈과 VB회의 곱셈, V회의 비교 연산이 필요하다. 여기서 A와 B는 3장 1절에서 언급한 것과 같이 각각 M/2log₂M+M+2W+13과 Mlog₂M+M+3W +2의 값을 가진다. 결과적으로 제안하는 알고리즘의 총 덧셈 횟수와 총 곱셈 횟수는 VA+2⌊2hM⌋+1와 VB+2⌊2hM⌋+1회, 그리고 비교 연산의 수는 5⌊2hM⌋+V회이며 O(VMlog₂M)의 복잡도를 가진다.

이 때 V는 알고리즘에서 선정하는 순환 주파수 개수로 M과 독립적인 설계 파라미터다. 기존의 알고리즘이 O(M²log₂M)의 복잡도를 갖고 있는 것과 비교하였을 때, 비록 제안하는 알고리즘이 X^α를 계산하는 추가적인 과정이 있으나 순환 주파수 추정을 통해 검정 횟수를 줄임으로써 기존의 알고리즘보다 더 낮은 계산 복잡도를 갖게 된다. V의 값에 따른 신호 탐지 성능에 대해서는 4장의 모의실험에서 자세히 다룬다. 제안하는 DSSS 신호 탐지 알고리즘의 곱셈과 덧셈 그리고 비교 연산의 횟수를 표로 나타내면 표 1과 같다.