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직렬/병렬 변환기 다음 단에 위치한 차동 부호기는 반송파 동기에서 위상 불연속을 제거하기 위하여 사용하며, 성상도 맵퍼와 연동하여 채널당 2.0 bits/symbol의 전송효율을 얻을 수 있게 한다. 차동 부호기는 현재의 입력 데이터와 버퍼에 저장되었던 데이터를 모듈로(Modulo)-8 연산을 수행하는 3비트 지연소자와 3비트 전가산기(Full Adder)로 구성되며, 차동 부호기의 입력 비트 매핑은 CCSDS 표준에서 정의된 표를 참조한다[Table 3-1, 2]. 그림 2에는 모듈로-8 연산을 수행하기 위한 차동 부호기 구조를 나타내었다.

Fig. 2. 
Block diagram of modulo-8 differential encoder

CCSDS 표준에서 권고하는 트렐리스 부호기는 8PSK에 대하여 다차원 TCM에서 얻을 수 있는 최대 평균 부호이득(약 5.5dB)을 얻을 수 있는 구속장(Constraint Length)이 7인 컨볼루션 부호를 사용하는데, 채널당 2.0 bits/symbol 전송효율의 경우, 컨볼루션 부호기를 통해 1/8의 정보율 감소만으로도 최적의 부호 이득을 얻게 된다.

표 2에는 구속정이 7인 64 상태의 조직적 컨볼루션 부호기의 특성을 나타내었으며, 이에 대한 부호기 구조를 그림 3에 도시하였다. 그림 3의 컨볼루션 부호기는 채널당 2.0, 2.25, 2.50, 2.75 bits/symbol 전송효율에 대하여도 동일하게 적용된다.

Fig. 3. 
Convolutional encoder with R=3/4 coding rate

CCSDS에서 권고하는 채널당 전송효율 2.0bits/ symbol에 대한 8차원 맵퍼는 식 (1)과 같은데[2], 식 (1)은 참고문헌 [7]을 통해서 유도 가능하다.

식 (1)에서 Zⁱ (i = 0, 1, 2, 3)와 xⁱ (i = 0, 1, 2,···, 7)는 각각 4개의 심볼과 맵퍼에 입력되는 8개의 비트를 나타낸다. 식 (1)에서 오른쪽항의 첫 번째 항인 (x⁸,x⁵,x¹)비트는 각 벡터 집합에서 공통적으로 π/4의 위상 변화에 민감하기 때문에 차동 부호화 되어 입력된다.

식 (1)을 각 심볼에 대하여 풀면, 식 (2)와 같이 표현할 수 있으며, 그림 4에는 이를 논리적으로 구현한 성상도 맵퍼를 나타내었다. 성상도 매퍼를 통해 매핑된 연속된 4개의 심볼(Zⁱ)은 변조기를 통해 8PSK 신호로 전송된다. 그림 5에는 전송효율이 2.0 bits/symbol 일 때, 잎에서 구현한 각각의 블록을 통합한 4D-8PSK TCM 시스템의 송신부를 나타내었다.

Fig. 4. 
Constellation mapper with 2.0 bits/symbol

Fig. 5. 
4D-8PSK TCM encoder with 2.0 bits/symbol

4D-8PSK TCM 수신기는 연관된 4개의 심볼(Z⁰,Z¹,Z²,Z³)을 수신 받아, 일단 각 서브셋을 최종 결정하지 않고, I/Q 성분으로 수신된 4개의 연속된 심볼((Zr⁰,Zr¹,Zr²,Zr³)과 서브셋(C⁰,C¹,C²,C³)간의 유클리드 거리(Euclidean Distance)를 계산하여 그 값을 출력한다.

다차원 TCM의 복호 알고리즘은 잘 알려진 비터비 알고리즘을 기본으로 사용한다. 송신부에서 컨볼루션 부호화된 신호는 트렐리스에 의한 복호화 과정이 수행된다. 비터비 알고리즘을 바탕으로 TCM을 복호화 방법으로는 전수 대입 방법(Brute-Force Method)과 간략화 접근(Simpler Approach)방법이 있다. 본 논문에서는 구현상 복잡도를 고려하여 유클리드 거리에 대하여 최적화 되도록 정의된 TCM의 특성을 이용하여 계산량을 현저히 줄일 수 있는 간략화 접근 방식을 적용하여 복호기를 구현한다.

비터비 복호기는 TMU에서 출력된 연속된 4개의 심볼과 서브셋(C⁰,C¹,C²,C³)간의 유클리드 거리 값을 이용하여 각 심볼에 대하여 16 브랜치 메트릭(BM, Branch Metric)을 구성하고, 16개의 가능한 천이(Transition)중에 최소 값으로 선택된 천이의 서브셋을 결정하여 출력한다. 또한 경로 메트릭(PM, Path Matric)은 이전의 PM과 현재의 BM을 더하여 누적 메트릭 값을 계산하면서 역추적 방식를 이용하여 비터비 알고리즘을 적용한다.

16개의 상태를 가지는 (x³,x²,x¹,x⁰)에 대하여 보조격자 정보를 이용하여 BM을 계산하고, 이의 누적 메트릭 값을 계산하여 PM을 만든다. 역추적 방식을 이용하여 코드 셋(C⁰,C¹,C²,C³)을 결정하고, 모든 가능한 트렐리스 경로(Trellis Path)를 찾아 x0을 결정한 후 최종적으로 x³,x²,x¹,x⁰을 결정하여 출력한다. 채널당 2.0 bits/symbol의 전송효율을 갖는 경우, 식 (1)의 매핑을 적용하면 8PSK에 대하여 4개의 심볼을 생성하게 되며, 따라서, 보조격자의 최종 상태는 4번째 단 이후에 얻을 수 있게 된다. 따라서 x⁸x⁷x⁶x⁵x⁴의 가능한 조합으로 형성된 4개의 심볼 (Z³Z²Z¹Z⁰) 을 수신하여 PM을 계산함으로써, 트렐리스의 모든 가능한 경로를 찾을 수 있으며, 이를 정리하면 표 3과 같이 나타낼 수 있다.

보조격자는 마지막 상태 (x³x²x¹x⁰)가 (0000)일 때, 표 3에서 보면 경로 C₀C₀C₀C₀와 C₂C₂C₂C₂만이 최종 상태 (0000)으로 수렴하게 된다. 모든 보조격자는 모든 16개의 최종 상태에 따라 위와 동일한 과정을 통해 구성 할 수 있으며, 이를 16가지의 최종 상태에 따라 정리하면 보조격자 정보와 보조격자를 얻을 수 있다. 그림 7에는 전송효율이 채널당 2.0 bits/symbol일 때, 보조 격자도를 나타내었다.

Fig. 7. 
Auxillary trellis diagram of 4D-8PSK TCM with 2.0 bits/symbol

단위 심볼당 비트 전송률이 높아질수록 각 상태를 판정하기 위한 후보 가지 수도 증가하게 되며, 다른 전송효율에 대하여도 동일한 방법으로 구할 수 있다.

표 4에는 이와 같은 과정을 다른 전송효율에 대하여 정리하여 나타내었다. 표 4를 통해, 심볼당 2비트 전송모드에서는 각 상태마다 2개의 보조격자가 존재하며, 2.25비트 전송 모드에서는 4개, 2.5비트 전송모드에서는 8개, 2.75비트 전송모드에서는 16개가 각각 존재함을 확인할 수 있다. 이러한 결과를 간략화 접근 방법에 적용하면 하드웨어 구현하여 복잡도를 줄일 수 있다.

비터비 복호기에서 판정된 C⁰,C¹,C²,C³를 이용하여 수신된 신호와의 유클리드 거리가 가장 작은 서브 셋를 결정하여 Z_c⁰,Z_c¹,Z_c²,Z_c³를 결정하고 출력한다. 여기서 Z_cⁱ는 SDU를 통해 정정된 심볼을 나타낸다.

결정된 심볼 Z_c⁰,Z_c¹,Z_c²,Z_c³을 가지고 디맵핑을 수행하기 위해, 매핑 식 (2)에 가감법을 적용하여 송신된 비트 x⁸,x⁷,x⁶,x⁵,x⁴,x³,x²,x¹,x⁰에 대하여 풀면 식 (3)을 얻을 수 있다.

그림 8에는 식 (3)의 결과를 논리회로로 구성한 성상도 디맵퍼를 나타내었다.

Fig. 8. 
Constellation de-mapper with 2.0 bits/symbol

차동 복호기는 DMU 다음 단에 위치하며, 차동 부호기와 동일하게 입력 데이터와 버퍼에 저장되었던 데이터에 대하여 모듈로-8 연산을 수행한다. 차동 복호기 구조는 3비트 지연소자와 3비트 전 감산기(Full Substractor)로 구성할 수 있으며, 그림 9와 같이 구성 할 수 있다.

Fig. 9. 
Block diagram of modulo-8 differential decoder

성상도 디맵퍼에서 출력된 x⁸,x⁷,x⁶,x⁵,x⁴,x³,x²,x¹중에 채널당 2.0 bits/symbol일 때, 송신부에서 차동 부호화시에 사용하였던 x⁸,x⁵x¹을 가지고 차동 복호를 수행한다. 그림 9에는 이에 대한 차동 복호기 구조를 나타내었다.

차동 복호화된 데이터는 병렬/직렬 변환 장치를 통해 최종 데이터로 출력된다. 그림 10에는 각 부분별로 구현된 4D-8PSK TCM 시스템의 수신부 구조를 나타내었다.

Fig. 10. 
4D-8PSK TCM decoder with 2.0 bits/symbol