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참고문헌 [9]에서는 L개의 ZF 필터를 사용한 후 N_t개의 Rake MRC를 채택하는 ZF-Rake 수신기 구조에 대한 연구를 진행하였다. ZF-Rake에서 각각의 다중경로 성분에 대해 한 개의 ZF 필터를 사용하여 공간 다중화된 데이터 스트림을 공간적으로 분리한 후 각각의 송신안테나를 통해 전송된 데이터를 Rake MRC를 이용하여 다중경로 성분들을 결합하여 결정 변수를 얻는다[8].

l번째 다중경로 성분에 해당하는 수신 신호 벡터 y(l)에 대해 ZF 필터링을 한 후의 l번째 필터 출력 신호 벡터는 u(l) = F_ZF(l)y(l)에 의해 계산된다[8]. 여기서 F_ZF(l)는 ZF 필터 행렬로써 l번째 경로에 대한 채널 행렬 H(l)의 Pseudo-Inverse 연산을 나타내며 F_ZF(l) =H(l)^† = (H(l)^HH(l))^-1H(l)^H로 주어진다[8]. ZF 필터링 다음으로 Rake MRC를 사용하여 송신안테나를 통해 전송된 데이터를 검출하기 위한 결정 변수를 얻게 되는데 n번째 송신안테나를 통해 전송된 데이터 스트림 검출을 위한 결정 변수는 다음과 같다[8].

위의 식에서 u_n(l)는 N_r × 1 벡터 u(l)의 n번째 원소이고, [⋅]_nn는 주어진 정방행렬의 n번째 대각선 성분을 나타낸다[8]. (N_t,N_r,L) 시스템 파라미터로 구성된 UWB 공간다중화 MIMO 통신시스템에서 ZF-Rake 수신기를 사용할 때 얻을 수 있는 이론적인 다양성 이득은 G_ZF-Rake = L(N_r - N_t + 1)로 주어진다[8].

참고문헌 [8]에서 제시된 ZF-Rake 수신기 구조보다 더욱 향상된 다양성 이득을 얻기 위해서 참고문헌 [10]은 그림 2와 같이 시간 및 공간 영역에서 2차원 Rake-MRC를 한 개의 ZF 필터 적용 전에 사용하는 2Rake-ZF 수신 기법을 제안했다. l번째 경로에 해당하는 수신 신호 벡터 y(l)에 대해 공간 결합을 통하여 공간 이득을 얻은 후 모든 다중경로 성분에 대해 다중경로 결합을 수행한다. 시간 및 공간 영역에서 2Rake-MRC를 수행한 수, N_t개의 송신 안테나로부터 전송된 데이터 스트림을 공간적으로 분리하기 위해 ZF 필터를 사용한다[10]. 이 때 2Rake 출력 신호 벡터 x=∑l=0L-1HlHyl의 ZF 필터링 후의 신호 결정 변수 벡터는 다음과 같이 주어진다[10].

Fig. 2. 
2Rake-ZF receiver structure for spatial multiplexing UWB-MIMO system

여기서 2Rake-ZF 수신기의 ZF 필터 행렬 F_2Rake-ZF와 L개의 다중경로 성분을 모두 포함하는 L_Nr×N_t채널 행렬 H는 각각 다음과 같다[10].

(N_t,N_r,L) UWB 공간다중화 MIMO 통신시스템에서 2Rake-ZF 수신기를 사용하면 ZF-Rake의 G_ZF-Rake= L(N_r - N_t + 1)값보다 훨씬 큰 G_2Rake-ZF = LN_r - N_t + 1로 주어지는 다양성 이득이 제공된다[10].

본 논문에서는 2Rake-ZF와 ZF-Rake 수신기처럼 다중경로 결합이나 수신안테나 다양성 결합을 위한 Rake-MRC 수신기 구조를 채택하지 않으면서 2Rake-ZF 수신기와 동일한 성능을 나타낼 수 있는 ZF 수신기만을 사용하는 구현이 간단한 구조에 대해 다양성 이득과 그에 따른 BER 성능 분석을 이론적으로 수행한다. 이를 위해 N_r개의 수신안테나와 L개의 다중경로 성분으로부터의 수신신호를 모두 받은 다음, 그림 3과 같이 (5)에서 주어진 행렬처럼 하나의 확장된 큰 채널 행렬을 만들어서 바로 ZF 필터링을 수행한다. 이 수신기는 Rake-MRC 수신부 없이 처음부터 모든 수신 경로 성분들을 고려하여 수행하므로 마치 수신안테나의 개수가 LN_r인 만큼의 수신다양성을 제공받을 수 있게 된다. 이러한 eZF 수신기 구조는 ZF 선형수신기만을 활용하면서 간단하게 채널을 확장해서 사용한다.

Fig. 3. 
Proposed eZF receiver structure for spatial multiplexing UWB-MIMO system

eZF 수신기에서 사용될 수신신호 벡터는 다음과 같이 주어진다.

여기서 LN_r × 1 벡터 y와 w는 다음과 같다.

그리고 LN_r × N_t채널 행렬 H는 (5)와 동일하게 주어진다. 이 때 확장된 ZF 필터 행렬은 다음과 같다.

위의 확장된 ZF 필터 행렬을 사용하여 얻어지는 수신기 필터 출력 신호 벡터의 결정 변수는 다음과 같다.

여기서 평균 비트 에너지 E_b는 1이라 가정한다.

n번째 송신안테나로부터 전송된 데이터 스트림에 대한 순시적인 잡음 전력은 식 (10)으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.

여기서 행렬 H^HH은 full rank 라고 가정한다. 그러면 후처리 SNR(post-processing Signal-to-Noise Ratio)은 다음과 같이 표현될 수 있다[8].

여기서 h_n는 H의 n번째 열로 다음과 같다.

그리고 Π(=UΛU^H)는 h₁,⋯,h_n-1,h_n+1,⋯,h_Nt로부터 구성된 LN_r×LN_r 크기를 가진 nonnegative Hermitian 행렬로 다음과 같이 주어진다.

여기서 H_n는 행렬 H에서 열벡터 h_n을 제외한 행렬을 나타낸다. 또한, Λ=diagλn1λn2⋯λnLNr이고, λni는 행렬 Π의 고유치이다.

그리고 x_n은 x_n = U^Hh_n이고, xn=xnixn2⋯xnLNrT로 표현될 수 있으며, U는 unitary 행렬이다. x_n = U^Hh_n의 통계적인 특성을 얻기 위해서 참고문헌 [8]에 수행된 이론적인 분석 방법을 따라 할 수 있다. 여기서 다중경로 성분들의 전력은 동일하다고 가정한다. 따라서 x_n의 각 원소는 평균이 0이고 분산이 1인 가우시안 랜덤 변수로 근사화할 수 있다.

그림 4는 (N_t,N_r,L)= (3,4,2) 공간다중화 UWB-MIMO 시스템에서 x_n⁽¹⁾에 대해 MATLAB시뮬레이션을 통해 얻어진 히스토그램과 근사화된 확률밀도함수 pdf(probability density function)를 나타내고 있다. 여기서 로그-정규 분포 페이딩 진폭의 표준편차는 참고문헌 [8]에서와 같은 환경으로 5dB라고 가정한다.

Fig. 4. 
Approximated pdf of xni in the (N_t,N_r,L)= (3,4,2) spatial multiplexing UWB-MIMO system

참고문헌 [8]과 [11]에서 사용된 동일한 근사적인 분석 방법을 사용하여 행렬 Π의 고유치들 중에서 LN_r - N_t + 1개수의 고유치는 1이고, 나머지 N_t - 1개수는 0 인 것을 입증할 수 있다. 따라서 n번째 송신안테나로부터의 데이터 스트림의 출력 SNR은 다음과 같이 표현된다.

따라서 eZF 수신기를 사용하는 (N_t,N_r,L) 공간 다중화 UWB-MIMO 시스템의 다양성 이득은 G_eZF =LN_r - N_t + 1로 주어지고, 2Rake-ZF 수신기의 다양성 이득 G_2Rake-ZF와 동일함을 알 수 있다. SNR_n,eZF는 자유도가 G_eZF = LN_r - N_t + 1인 central Chi-square 분포 특성을 나타내는 랜덤 변수이다. 이 때 SNR_n,eZF의 pdf는 감마 함수 Γ(⋅)를 사용하여 다음과 같다.

그러므로 로그-정규 페이딩 채널에서 eZF 수신기의 이론적인 평균 BER 성능을 다음과 같이 계산된다.

여기서 P_b|SNRn,eZF(t)는 조건부 BER을 나타내며, Pb|SNRn,eZFt=0.5erfcEb/N0t으로 주어진다.

(N_t,N_r,L) 공간다중화 UWB-MIMO 시스템의 모든 시뮬레이션에서 데시벨(decibel) 단위로 비트당 SNR을 참고문헌 [8]에서처럼 SNR_b = E_b/N₀(dB) + 10log₁₀G와 같이 정의하여 사용한다. 여기서 G는 UWB-MIMO 수신기의 다양성 이득을 나타낸다. 즉, ZF-Rake 수신기는 G = G_ZF-Rake = L(N_r - N_t + 1)이고, 2Rake-ZF와 eZF는 G = G_2Rake-ZF =G_eZF=LN_r - N_t + 1로 주어진다.

본 논문에서는 분석의 편의를 위해 E_b를 1로 가정했다. 로그-정규 분포 페이딩 채널 시뮬레이션을 위해서 20log₁₀η_mn(l) (= θ_mn(l)(20log₁₀e))의 표준편차는 5dB를 사용한다[8]. l번째 경로의 평균 전력은 power decay factor γ를 사용하여 E[η_mn(l)²] = e^γl로 주어지는데, 2장에서 언급된 η_mn(l)의 k번째 모멘트 수식과 비교하면, μ_ηmn(l) =-σθ2 - γl/2을 얻을 수 있고, 여기서 σ_θ = 5/(20log₁₀e)임을 알 수 있다[8].

본 논문에서 0번째 경로 성분의 평균 전력은 1이라고 가정하고, γ = 0로 주어진다. 수신기 측에서는 L개의 다중경로 채널에 관한 정보를 알고 있다고 가정한다. 다음의 모든 그림에서 이론적인 분석에 의해 얻어진 평균 BER 곡선과 시뮬레이션을 통해 얻어진 BER 곡선은 각각 선(Line)과 마커(Marker)를 사용하여 나타내고 있다. BER 성능 곡선을 표현하는 그림에서 가로축은 E_b/N₀(dB)를 나타낸다.

그림 5, 그림 6, 그림 7은 N_t = 3와 N_r = 3인 공간다중화 UWB MIMO 시스템에서 다중경로 수가 L = 2, L = 3, L = 4일 때 ZF-Rake[8], 2Rake-ZF[10], eZF 수신기 구조의 평균 BER 성능 곡선들을 나타내고 있다. 다중경로의 수가 증가함에 따라 BER 성능이 향상됨을 알 수 있다. 그리고 eZF 수신기는 E_b/N₀(dB)가 8dB 보다 큰 영역에서는 ZF-Rake 수신기보다 4dB 이상의 우수한 BER 성능을 나타내고 2Rake-ZF 수신기와 거의 동일한 BER 성능을 보이고 있다. ZF-Rake와의 큰 성능 차이는 eZF 수신기의 다양성 이득 G_eZF =LN_r - N_t + 1= 3L - 2와 ZF-Rake의 다양성 이득 G_ZF-Rake =L(N_r - N_t + 1)= L의 차이가 2L - 2 만큼 나기 때문에 발생했다고 볼 수 있다[8]. 또한 낮은 E_b/N₀영역에서는 이론적인 성능 곡선이 시뮬레이션 결과와 잘 일치하나 E_b/N₀ 값이 큰 영역에서는 약간 차이가 있음을 확인할 수 있다.

Fig. 5. 
BER comparison of ZF-Rake, 2Rake-ZF and eZF detection schemes in the (3,3,2) systems

Fig. 6. 
BER comparison of ZF-Rake, 2Rake-ZF and eZF detection schemes in the (3,3,3) systems

Fig. 7. 
BER comparison of ZF-Rake, 2Rake-ZF and eZF detection schemes in the (3,3,4) systems

Fig. 8. 
BER comparison of ZF-Rake, 2Rake-ZF and eZF detection schemes in the (3,4,2) systems

Fig. 9. 
BER comparison of ZF-Rake, 2Rake-ZF and eZF detection schemes in the (3,5,2) systems

그림 5, 그림 8, 그림 9는 다중경로 수가 L = 2인 페이딩 채널에서 N_t = 3인 공간다중화 UWB-MIMO 시스템에서 수신안테나 수가 N_r = 3, N_r = 4, N_r = 5일 때 ZF-Rake[8], 2Rake-ZF[10], eZF 수신기 구조의 평균 BER 결과들을 보여주고 있다. 수신안테나 수가 커짐에 따라 수신 다양성 정도가 늘어나기 때문에 BER 성능도 증가하고 있는 것을 확인할 수 있다. 여기서도 다양성 이득에 있어서 G_eZF = G_2Rake-ZF = 2N_r - 2와 G_{ZF -Rake} = 2N_r - 6의 차이가 4이기 때문에, 그림 8에서는 E_b/N₀(dB)가 10dB 보다 높은 영역에서 3dB 이상의 BER 성능을 보이고, 그림 9에서는 E_b/N₀(dB)가 12dB 보다 높은 영역에서 eZF 수신기의 성능이 ZF-Rake 수신기 성능보다 2dB 이상 차이 나는 것을 볼 수 있다. 그리고 이론적인 성능 곡선은 낮은 E_b/N₀ 영역에서는 시뮬레이션 결과와 잘 일치하나 E_b/N₀ 값이 6dB 이상 큰 영역에서는 약간 차이가 있음을 확인할 수 있다.