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5G 밀리미터파 다중 입력 다중 출력 전송 시스템에서 제한된 개수의 전송 경로를 가지는 채널 모델을 고려한다[8][9]. 그림 1[9]과 같이 서로 다른 경로들은 송신측와 수신측에서 각각 다른 발사각(AoD, Angle-of-Departure) ϕ_l과 도래각(AoA, Angle-of-Arrival) ϕ_l을 가진다.

Fig. 1. 
A spatial channel model for multi-antenna millimeter-wave propagation

안테나들이 반 파장의 등 간격으로 배치된 선형 안테나 배열을 가정한다. N_T개의 안테나를 가지는 송신부(TX)에서 N_R개의 안테나를 가지는 수신부(RX)로의 채널 행렬은 다음과 같이 표현될 수 있다.

여기서 L과 α_l은 각각 채널 경로의 개수와 l번째 경로의 복소 가우시안(Complex Gaussian) 이득을 나타낸다. l번째 경로의 도래각 ω_l과 발사각 ϕ_l의 값은 [0,2π)에서 균일한 분포를 가진다. a(N,ϵ)은 N개의 안테나를 사용하는 등 간격 선형 안테나의 배열 응답 벡터로 다음과 같이 주어진다.

채널 행렬 H의 성분들을 개별적으로 추정하고자 한다면, 채널을 이루고 있는 송수신 안테나의 개수가 증가할수록 구현복잡도가 커져서 채널을 추정하는 것이 어려워진다. 하지만, 식 (1)의 채널 모델에 기반 한다면 다중 경로 개수만큼의 AoA와 AoD만을 추정하면 된다.

계층적 코드북은 그림 2처럼 U개의 계층으로 구성되며 서로 다른 계층의 코드워드들은 각도(sin (ϵ)) 영역에서 서로 다른 빔 폭을 가지며, u번째(u = 1,2,...,U) 계층은 동일한 빔 폭을 가지면서 서로 다른 방향으로 향하는 M^u개의 코드워드 c(u,n) (n = 1,2,...M^u)들로 구성되어있다.

Fig. 2. 
A structure of the hierarchical codebook (M = 2)

그림 2에서 가로축은 각도(ϵ radian)의 함수인 sin (ϵ)로, 본 논문에서 각도 영역이란 이 가로축을 의미한다. M은 계층 상수라 불리며 계층적 코드북 구조에서 하나의 부모 코드워드에 포함되는 자식 코드워드의 개수로 정의된다. 각도 영역에서 모든 m에 대한 c(u + 1, (n - 1) M + m)_{m = 1,2,...M}의 빔 폭의 합은 바로 위 계층의 c(u,n)의 빔 폭과 일치한다. 이때 c(u,n)를 c(u + 1, (n - 1) M + m)_{m = 1,2,...M}의 부모(parent) 코드워드라 부르고, c(u + 1, (n - 1) M + m)_{m = 1,2,...M}를 c(u,n)의 자식(child) 코드워드라 부른다. 이와 같은 코드북의 특성을 이용하여 데이터 전송을 위한 빔포밍을 위해 상위계층부터 빔 검색을 시작한다. 만약 u 번째 계층에서 한 코드워드가 선정되면, 그 바로 아래 u + 1 번째 계층에선 그 선정된 코드워드의 자식 코드워드들만 검색한다. 검색 과정의 성능을 향상하기 위해 검색 시작 계층을 첫 번째 계층이 아닌 u₀ 번째 계층(u₀ ≥ 2)으로 할 수도 있다.

계층적 코드북 설계는 채널 추정 정확도 및 전송 용량 등의 성능에 큰 영향을 줄 수 있는 중요한 부분이다. 우선 기존의 계층적 코드북 설계 사례의 특징 및 문제점을 살펴본다. 참고문헌 [4]에서는 넓은 빔 폭의 코드워드 생성을 위해 빔 폭에 비례하는 만큼 개수의 안테나를 비활성화(즉, 전송전력을 0으로 함)시킨다. 즉, 활성화되는 안테나의 개수는 빔 폭에 반비례하게 된다. 일반적으로 크기에 제약이 많은 송수신 모듈로 구성된 밀리미터파 통신 시스템에서는 각 안테나에서 송신되는 전력이 제한될 수도 있으므로 활성화되지 못하는 안테나 개수가 늘어나면 그만큼 총 전력 손실이 발생한다. 참고문헌 [5]에서는 위와 같은 전력 손실 문제점을 완화하기 위한 코드북을 제안하여 성능 개선을 이루었지만, 역시 일부 계층(맨 아래부터 짝수 번째 위치한 계층)에선 절반의 안테나만 활성화되는 문제점이 여전히 존재한다.

참고문헌 [7]에서는 자식 코드워드들을 합하여 넓은 빔 폭을 가지는 코드워드를 생성함으로써 코드북의 모든 계층에서 모든 안테나가 활성화되도록 하였지만, 맨 아래 계층을 제외한 다른 모든 계층의 코드워드들은 동일 크기(Constant modulus) 성분 특성을 만족하지 않아서 구현에 어려움이 있다.

참고문헌 [6]에서는 모든 안테나를 활성화하면서도 동일 크기 성분 특성을 만족하는 코드워드들로 구성된 계층적 코드북이 제안되었지만, 그림 3에서 볼 수 있듯이 맨 아래에서 짝수 번째 위치한 계층에서는 자신의 빔 폭 내부 일부 영역(빨강 네모로 표시된 영역)에서 자신의 빔 이득보다 인접한 빔의 이득이 더 커서 심각한 빔 간 간섭 문제를 일으킨다.

Fig. 3. 
Beam patterns of reference [6] for N = 32

N개의 안테나를 사용하면서 동일 크기 성분 조건을 만족하는 안테나 가중치 벡터 c를 다음과 같이 정의하자.

여기서 θ_n (n = 0,1,...,N - 1)은 각 안테나 신호의 위상값이다. 각도 Ω에서 c의 빔 이득 ∣A({θ_n},Ω)∣은 다음과 같이 주어진다.

우선 빔의 중심이 원점(Ω = 0)에 위치하며(빔의 방향각이 0이고) 빔 모양이 원점을 중심으로 좌우 대칭인(즉, ∣A({θ_n},Ω)∣이 Ω에 대해 우함수인) 경우를 고려하자. 이를 위해 θn=θN-1-nn=0,1,2,…,N2-1이 성립해야 한다. 이 성질을 이용하여 ∣A({θ_n},Ω)∣를 θn,n=0,1,…, N2-1의 함수로 식 (5)와 같이 표현할 수 있다. 따라서 최적화하고자 하는 변수의 개수는 N일 필요 없이 N2θn,n=0,1,…, N2-1이다.

설계하고자 하는 c의 빔 모양이 원점을 중심으로 크기 B의 빔 폭을 갖는다고 가정하자. 샘플링 각도 Ω_l이 빔 폭 내에 속하면(즉, Ωl<B2) ∣A({θ_n},Ω_l)∣은 될수록 커야 하며, 그렇지 않으면 (즉, Ωl>B2) ∣A({θ_n},Ω_l)∣은 될수록 작아야 한다. 따라서 최적화 문제를 위한 비용함수를 다음과 같이 정의한다.

샘플링 각도 값들 Ωl':Ωl'<B2과 Ωl:Ωl>B2은 직관과 시행착오를 통해 선택한다. 식 (6)을 최소화하는 위상값과 이러한 위상값들로 구성된 안테나 가중치 벡터를 각각 다음과 같이 정의하자.

안테나 개수가 N일 때, u 번째 계층의 코드워드의 빔 폭은 B = (2/N)∙ 2^{log₂N - u}이다. c^*의 방향각은 0이고 u 번째 계층의 n 번째 코드워드 c(u,n)의 방향각은 –1 + B/2 B(n - 1) = -1 + B(n - 1/2)이므로 c(u,n)은 방향각 회전 식[5]을 이용하여 다음과 같이 유도될 수 있다.

여기서 ∘ 은 성분끼리의(Entry-wise) 곱을 의미한다.

식 (7)로 주어진 최적의 위상값 θn*을 찾기 위해 경사 하강법을 사용하기로 한다. 경사 하강법에 따라 위상값들은 다음과 같은 수식에 의해 반복적으로 갱신된다.

한 번 갱신에 의한 위상값 변동량을 조절하는 μ는 시행착오를 통해 적정값을 선택한다. 초기 위상값들 θn,n=0,1,…,N2-1은 [0,2π] 범위에서 서로 독립적으로 랜덤하게 설정된다.

안테나 개수 N = 32에 대해 경사 하강법을 이용해 얻은 안테나 가중치 벡터(c^*)의 빔 모양을 기존의 빔 모양과 비교해서 그림 4에 제시하였다. 제시된 빔 모양을 얻기 위해 사용된 샘플링 각도는 표 1과 같다. 이를 위해 우선 빔 폭 내부 영역에선 일정한 간격으로 샘플링 각도를 선정하였으며, 이를 기반으로 경사 하강법에 의해 얻어진 빔 모양이 빔 폭 외부의 특정 각도에서 빔 이득 값이 너무 크면 그 각도를 Ωl:Ωl>B2에 추가하여 원하는 빔을 얻을 수 있다. 경사 하강법에 의해 최종적으로 유도된 안테나 가중치 벡터(c^*)의 위상값 θ0,θ1,…,θN2-1을 표 2에 제시하였다.

Fig. 4. 
Beam pattern comparison for each layer (N = 32)

그림 4에서 볼 수 있듯이, 제안된 방식으로 얻어진 c^*는 자신의 빔 폭 내부의 모든 영역에서 가장 큰 빔 이득을 갖기 때문에 참고문헌 [6]의 인접 코드워드간 심각한 간섭 문제를 극복한다. 또한, SNR이 낮을 때 빔 검색 성공률을 높이기 위해서는 빔 간 경계에서 빔 이득 곡선의 경사가 커야 한다. 1 계층~3 계층에서 제안된 빔 이득의 곡선이 기존(참고문헌 [5] & [6])의 빔에 비해 빔 간 경계에서 훨씬 큰 경사를 가짐을 확인할 수 있다. 맨 아래서 두 번째 계층인 4번째 계층의 경우에는 빔 간 경계에서의 빔 곡선의 경사가 다른 계층만큼 큰 값을 얻는 것이 어려웠다. 그 외에 참고로 맨 아래 계층의 빔 모양은 3가지 방식([5], [6] 및 제안된 방식) 모두 동일하고, 맨 아래에서 홀수 번째 계층에선 참고문헌 [5]와 [6] 방식의 빔 모양이 동일하며, 맨 아래에서 짝수 번째의 계층에선 참고문헌 [5]의 방식은 절반의 안테나만 활성화하기 때문에 총 전력 손실 때문에 빔의 크기가 다른 방식의 빔에 비해 작음을 볼 수 있다. 또한, 빔 폭을 표시하기 위해 이상적인 빔 모양(‘Ideal’)도 추가하였다.